一歲四個月寶寶走路內(nèi)八字怎么辦 一歲四個月的寶寶走路有點(diǎn)內(nèi)八
2024-08-09
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更新時間：2024-08-09 20:58:46作者：佚名
世間萬物的復(fù)雜性很多就是從一些簡單的規(guī)則開始通過系統(tǒng)自發(fā)的相互作用產(chǎn)生這就是神奇的自組織自組織現(xiàn)在被發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)在自然科學(xué)乃至社會科學(xué)的諸多領(lǐng)域本文主要介紹數(shù)學(xué)上最早的概念模型阿貝爾沙堆模型
撰文JordanEllenberg
威斯康星大學(xué)麥迪遜分校數(shù)學(xué)教授
編譯許釗箐
你聽說過多米諾骨牌理論
Dominotheory
嗎這是冷戰(zhàn)時期美國為遏制共產(chǎn)主義提出的地緣政治理論指社會主義國家會輻射影響周邊國家進(jìn)行社會主義變革此理論極大地影響了美國二十世紀(jì)中期的外交政策被用來為其霸權(quán)主義行為正名但拋開政治理論在自然界確實也有類似的多米諾骨牌行為從物理學(xué)的角度上講它應(yīng)該被稱為沙堆理論
sandpiletheory
現(xiàn)實世界的政權(quán)轉(zhuǎn)變往往不是有條不紊的發(fā)生而是在突然間的協(xié)調(diào)配合下發(fā)生的比如阿拉伯之春以及東歐劇變
最終蘇聯(lián)解體
這些歷史事件中平靜的時期里暗藏危機(jī)然后在某一刻陡然倒塌就像沙堆一樣假如你在一個沙堆上頂部再放一些沙礫沙堆可能在短時間內(nèi)沒有明顯變化但是頃刻間類似于一場雪崩頂部的沙礫會以不規(guī)則的方式突然沖下并且在過程中很可能引發(fā)小的次級流沙
這個比喻不一定會給我們帶來什么畢竟真實的沙子很難去分析就像現(xiàn)實世界的政治一樣但奇跡也在這里物理學(xué)家巴克
PerBak
湯超
ChaoTang
和維森菲爾德
KurtWiesenfeld
在1987年提出了一種由沙堆的抽象而來的阿貝爾沙堆模型
Abeliansandpilemodel
這種模型在保持足夠簡單以便于應(yīng)用數(shù)學(xué)來研究的同時似乎又可以刻畫真實沙堆的一些有趣但無序的特點(diǎn)并且適用于其他一些源自生物學(xué)物理學(xué)以及社會科學(xué)的復(fù)雜系統(tǒng)
1
阿貝尓沙堆模型
它的過程是這樣的我們可以想象一個無窮網(wǎng)格在每一個網(wǎng)格上都有一小堆沙子并在每一個格子內(nèi)用數(shù)字表示沙礫的數(shù)目
但在垂直方向沙堆的高度是有一定限制的所以這里假設(shè)每當(dāng)網(wǎng)格中沙礫數(shù)目到達(dá)四則四粒沙礫會向周邊四個格子流散所以如果初始是兩個網(wǎng)格中有四粒沙礫
則沙堆流散之后左側(cè)的網(wǎng)格變成了
此時右側(cè)網(wǎng)格已經(jīng)超過四粒的沙堆那么它會繼續(xù)朝周邊的四個網(wǎng)格各流散一粒沙礫
現(xiàn)在因為所有位置的沙礫數(shù)目都不超過四每個網(wǎng)格點(diǎn)都處在穩(wěn)定的狀態(tài)所以沙堆流散的過程就停止了
以上的分析過程中我們先進(jìn)行的是原本兩個網(wǎng)格中左側(cè)的流散其次是右側(cè)的我們?nèi)绾沃滥膫€網(wǎng)格應(yīng)該先向四周流散呢好消息是選擇的順序并不重要因為我們可以由穩(wěn)定狀態(tài)網(wǎng)格的對稱性得出這種阿貝爾沙堆的最終狀態(tài)并不取決于我們選擇模擬流沙網(wǎng)格的順序這也是其取名為阿貝爾的原因意味著我們選擇的先后順序不影響最后的結(jié)果
譯者注數(shù)學(xué)命名中的阿貝爾通常是為了紀(jì)念挪威數(shù)學(xué)家尼爾斯阿貝爾NielsHenrikAbel18021829他開啟了許多領(lǐng)域的研究并以證明五次方程的根式通解不存在以及橢圓函數(shù)的研究聞名盡管他數(shù)學(xué)成就極高但其生活遇到了很多困難最后因肺結(jié)核不滿27歲逝世
比如說加法這種運(yùn)算是阿貝爾的我們指加法中元素是可以交換的先加2再加3等價于先加3再加2但是大多數(shù)的運(yùn)算或操作都不是阿貝爾的比如說先解鎖汽車再拉開車門那么車門就打開了但是先拉車門再解鎖汽車得到結(jié)果完全不同車門還是關(guān)閉的所以沙堆的阿貝爾性質(zhì)可以算是一個驚喜
那么你可能會問如果我們在一個網(wǎng)格上放很多很多沙礫比如說一百萬粒會發(fā)生什么當(dāng)沙礫向四周不斷流散最后穩(wěn)定下來時會是什么樣子你可能會想象最后會是一個巨大平整的沙堆其中接近中心的一個很大的區(qū)域會有很多包含三個沙礫的網(wǎng)格
但并不是這樣下面這幅圖展現(xiàn)了最終穩(wěn)定后的網(wǎng)格情況
百萬沙粒中心點(diǎn)上堆積大約大量的沙礫準(zhǔn)確地說是2的20次方來模擬一個阿貝爾沙堆顏色表示堆高藍(lán)色表示沒有沙子紫色表示一粒黃色表示兩粒褐紅色表示三粒丨圖片來源WesPegden
好吧會不會是一百萬不足以使得沙堆數(shù)量是光滑變化的如果我們用十億粒沙礫呢會得到一個平坦的大的沙堆嗎最終的圖像是這樣的
十億粒沙礫模擬圖丨圖片來源WesPegden
我們期待的平坦情況沒有出現(xiàn)相反那些奇異的分形圖樣持續(xù)存在在接近中心的地方復(fù)雜的圖案就像是一個圓頂其內(nèi)部還鑲嵌著很多格子看起來是某種幾何圖案但又像是隨機(jī)的在沙堆的邊界則是眾多一致的三角形以規(guī)則的模式緊密連接
這些圖片是由卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的數(shù)學(xué)教授WesPegden及合作者康奈爾大學(xué)的LionelLevine和CharlieSmart在沙堆的前沿研究中繪制的
2
十億粒沙堆的中心圖像丨圖片來源WesPegden
或者看到外緣尖銳怪異的細(xì)節(jié)
十億粒沙堆的邊緣圖像丨圖片來源WesPegden
如果仔細(xì)觀察你還可以觀察到更精細(xì)的局部結(jié)構(gòu)像很多數(shù)學(xué)文章一樣我們在這里給感興趣的讀者一個家庭作業(yè)沙堆穩(wěn)定之后請說明兩個鄰近網(wǎng)格為什么不可能同時為空
有答案
事實上一些實驗表明我們可能有更強(qiáng)的結(jié)論空的網(wǎng)格不僅不會相鄰它們甚至傾向于不接近彼此就像帶相同電荷的粒子它們會相互排斥
復(fù)雜中所蘊(yùn)含的簡單規(guī)律
在你真的去拿顯微鏡觀察沙堆之前我不得不提醒你真正的沙堆是不會產(chǎn)生這種自發(fā)性的結(jié)構(gòu)的
3
JohnConway
的生命游戲
ConwaysGameofLife這個游戲也是從非常簡單的規(guī)則中產(chǎn)生了豐富的復(fù)雜性就像生命游戲一樣阿貝爾沙堆也是一個元胞自動機(jī)
cellularautomaton
它是一個微型的宇宙其中的運(yùn)行規(guī)律可以被計算機(jī)可接受的離散語言全然描述在沙堆中每個網(wǎng)格都具有從0到4中的一個數(shù)字通過一個簡單的規(guī)則決定相鄰網(wǎng)格的值而在生命游戲中網(wǎng)格的狀態(tài)更為簡單每個狀態(tài)非生
值為1
即死
值為0
但是兩者還是有區(qū)別的生命游戲作為一種典型的元胞自動機(jī)復(fù)雜的行為可以出現(xiàn)但更傾向于簡單的模式4但是對于沙堆模型我們似乎不需要特別設(shè)置初始條件它就會自動趨向復(fù)雜的模式
實際上沙堆中復(fù)雜行為的出現(xiàn)取決于一個所謂的臨界閾值在這個值附近往往會出現(xiàn)復(fù)雜的行為我們對于自然界中的臨界閾值這一概念是很熟悉的水在較高溫度下是一種無序的液體但是當(dāng)溫度下降到達(dá)某個臨界值水就會發(fā)生巨大的轉(zhuǎn)變結(jié)晶成冰而對于沙堆來說它的密度就類似于水的溫度這里的密度是指平均每個網(wǎng)格中有多少的沙礫
如果有太多的沙礫沙堆就會不穩(wěn)定雪崩隨之發(fā)生如果沙礫太少沙堆則會很快穩(wěn)定下來那么多少算是我們說的太多呢事實上這個答案出乎意料的簡單巨大變化和微小變化的分界線是平均每個網(wǎng)格里2125粒沙礫
值得注意的是在網(wǎng)格有限并假設(shè)當(dāng)沙礫到達(dá)邊緣格子時再流散就會消失的情況下平均每個網(wǎng)格的沙礫數(shù)會是2125在一開始所有的網(wǎng)格都是空的我們一粒一粒地將沙礫放至中心的那個網(wǎng)格一段時間后沙堆開始向四周流散會慢慢形成類似于我們之前展示過的Pegden教授生成的圖像這個圖像是假設(shè)網(wǎng)格在所有方向都有無限多個
我們?nèi)酉乱涣Ｉ炒扯逊€(wěn)定后就再扔下一粒這樣沙礫會越來越多但如果沙礫到達(dá)邊緣流散出去的沙礫就消失了此后沙堆會接近一個平衡沙礫在邊界掉落的速率等于我們增加沙礫的速率密度會在某個臨界值穩(wěn)定下來當(dāng)然系統(tǒng)會有局部波動隨著時間推移密度低的地方和密度高的地方會有一定的交替變化但對于整體平均每個網(wǎng)格沙礫數(shù)會在2125粒左右
如果一開始我們盡可能地將每個網(wǎng)格布滿沙礫即每個網(wǎng)格放置3粒那會發(fā)生什么呢這種初始布局是穩(wěn)定的但它是很脆弱的穩(wěn)定我們在任意一個網(wǎng)格放置一粒沙礫之后一場巨大的雪崩就開始了直到密度下降到2125它才會停止 那么當(dāng)沙礫密度到達(dá)臨界值時會發(fā)生什么這時的沙堆會處在最有趣的狀態(tài)向四周流散的過程一直在發(fā)生但卻不是持續(xù)的大范圍混亂狀態(tài)相反流散會出現(xiàn)類似于海浪一波接一波不時也會發(fā)生罕見的橫跨所有網(wǎng)格的雪崩災(zāi)難而流散活動在閾值密度下的分布似乎遵從冪律流散活動的頻率和它的規(guī)模成反比其中也有持續(xù)的流散活動但它們是有某種結(jié)構(gòu)和規(guī)律的不僅如此為了展示其復(fù)雜的行為沙堆不需要做精細(xì)的調(diào)整它自己具備調(diào)整的能力不論系統(tǒng)從哪里開始只要新的沙礫以常數(shù)速率增加系統(tǒng)都會通向臨界閾值狀態(tài) 眼見為實美國國家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究所NIST
的RMDimeo就制作了一個系列沙堆處于臨界狀態(tài)的無聊電影
沙堆中加入一粒沙子后的變化顏色代表該處流散的次數(shù)每次流散都會更熱視頻來源RMDimeo請前往返樸公眾號觀看視頻對我來說這個過程看起來就像是有生命力的而不是一個巧合思考豐富的生命結(jié)構(gòu)是如何從簡單系統(tǒng)中涌現(xiàn)出來的它們會自動尋找臨界閾值使用自組織臨界性的概念是一種流行的方式一些生物學(xué)家認(rèn)為自組織臨界性是復(fù)雜生物行為的潛在統(tǒng)一理論這一理論支配著一群鳥兒同步飛行的模式就像遺傳信息支配鳥兒個體的發(fā)展一樣5理論生物學(xué)家斯圖亞特考夫曼StuartKauffman
寫道生命系統(tǒng)存在于臨近混亂邊緣的一個穩(wěn)固的狀態(tài)是自然選擇實現(xiàn)并維持了這種平衡狀態(tài)就像是我們討論的沙堆它當(dāng)然不是一個生命但它卻生機(jī)勃勃不是嗎
沙堆是第一個也是被研究的最多的自組織臨界性的例子此外還有很多其他的例子在Pegden教授的網(wǎng)站上還有一些
但是我們并不知道沙堆的散落規(guī)則到底是什么為什么它使得系統(tǒng)不可避免地朝著復(fù)雜的臨界狀態(tài)發(fā)展也不清楚哪些元胞自動機(jī)可能表現(xiàn)出這種自組織臨界性
一些深刻的理解可能會從沙堆理論和其他數(shù)學(xué)理論的驚人聯(lián)系中產(chǎn)生對于我這樣的幾何學(xué)家來說沙堆理論與最近新興的熱帶幾何學(xué)理論tropicalgeometry
有關(guān)該領(lǐng)域的目標(biāo)是用類似的離散幾何現(xiàn)象來模擬連續(xù)的幾何現(xiàn)象
譯者注熱帶幾何學(xué)理論是首先由巴西數(shù)學(xué)家及計算機(jī)科學(xué)家伊姆雷西蒙ImreSimon于1980年代發(fā)展熱帶一詞源于部分法國數(shù)學(xué)家對于巴西的刻板印象熱帶幾何可以看成是分片線性化的代數(shù)幾何在計數(shù)代數(shù)幾何中有重要的應(yīng)用
對于概率學(xué)家來說沙堆與所謂的生成樹密切相關(guān)生成樹在方形網(wǎng)格上
是一個分支路徑它接觸網(wǎng)格上的每個點(diǎn)但不會形成閉合的回路無論這些理解是來自于哪里沙堆理論提醒我們數(shù)學(xué)中非常有趣的現(xiàn)象就像物理學(xué)很多有趣的現(xiàn)象經(jīng)常出現(xiàn)在相變之中就是在這里我們處于兩個不同的數(shù)學(xué)理論之間既擁有它們的特征又可以跨越邊界傳遞信息和問題當(dāng)然通常來說問題總是比答案多
參考資料
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