圓周率公式（有哪些計算圓周率的神奇公式？）

一說起圓周率π，很多人就想到祖沖之老爺子的割圓術(shù)。

說實話，祖大人也挺無奈的，從我們小學(xué)就開始割圓，一直割到大學(xué)還在割。

但割圓術(shù)只適合手算，如何用電腦算π呢？

泰勒展開

泰勒展開在科學(xué)計算中簡直有著匪夷所思的變態(tài)威力。

之前我有一篇文章泰勒為何要展開？ 泰勒公式有什么神奇作用？介紹了什么是泰勒展開，它可以把復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)換成加減乘除，比如sinx：

之所以要展開，是因為通用計算機(jī)本質(zhì)上只能計算加減乘除。

用泰勒展開計算π

首先想到的思路就是，反三角函數(shù)，根據(jù)定義有：

那么，接下來的問題就是，

如何計算arctan(1)

有人說，直接調(diào)用C語言庫函數(shù)atan(double,double)不就行了。

確實，這可以完成計算，然而，這是一種令人不齒的開掛行為，就好像我問怎么跑完馬拉松，你說你開車一溜煙就跑完了一樣。

庫函數(shù)是別人寫好的，我們現(xiàn)在是思索如何實現(xiàn)計算，而不是考慮如何調(diào)用。

至此，我們只好請出祖?zhèn)髋浞?，把a(bǔ)rctan(x)進(jìn)行泰勒展開：

然后，令x = 1，得到：

格雷戈里-萊布尼茨公式

它被稱為萊布尼茨級數(shù)，也被稱為格雷戈里-萊布尼茨級數(shù)，用以紀(jì)念萊布尼茨同時代的天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家詹姆斯·格雷戈里。

看起來很吊是不是······

但是啊但是，還不夠吊，因為問題還沒完：

這個級數(shù)收斂極慢。

比如，算到+4/9，也就是前五項，結(jié)果僅為3.3396，誤差有0.2之多。

它要到算500000項之后，才會精確到小數(shù)點后五位：

就算電腦也算得太累了。

何況萊布尼茲（1646年7月1日－1716年11月14日）當(dāng)年是沒有電腦的！

加快收斂

于是，人們嘗試改進(jìn)，希望能快點計算。

英國數(shù)學(xué)家梅欽在1706年用上面的級數(shù)，發(fā)掘了一個可以快速收斂的公式：

配合上面arctan(x)泰勒展開，梅欽依據(jù)此公式（沒有電腦），把圓周率計算到小數(shù)點后一百多位。

英國數(shù)學(xué)家威廉·謝克斯花15年的時間以此計算到小數(shù)點后707位，不過在第528位時出錯，因此后面的都不正確了。

微微杯具就是了。

神奇公式

現(xiàn)代有了電腦，我們希望更快的收斂速度，因此科學(xué)家在尋找新的級數(shù)。

歷史總是留給吊人的，也總是會生產(chǎn)一些吊人的。

比如：

拉馬努金公式

這玩意被稱為拉馬努金公式，是印度科學(xué)家拉馬努金發(fā)明的。

第一位用拉馬努金公式計算π并取得進(jìn)展的是比爾·高斯珀，他在1985年計算了小數(shù)點后一千七百萬位。

收斂再快一點？還有楚德諾夫斯基公式：

楚德諾夫斯基公式

楚德諾夫斯基兄弟于1989年算得π小數(shù)點后10億（10?）位，法布里斯·貝拉于2009年算得2.7千億（2.7×1012）位，亞歷山大·易和近藤滋在2011年算得一萬億（1013）位。

意不意外，驚不驚喜，

無不無聊······