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怎么認識三角形內(nèi)切圓圓心(三角形內(nèi)切圓的內(nèi)心是什么)

更新時間:2023-11-15 08:00:07作者:未知

怎么認識三角形內(nèi)切圓圓心(三角形內(nèi)切圓的內(nèi)心是什么)

1、△ABC的內(nèi)心為I,內(nèi)切圓與三邊切于D、E、F,那么:AE=AF,BD=BF,CD=CE

2、設(shè)三角形的三邊程度分別是a、b、c,那么:BD=BF=(a+c-b)/2

3、線段的比例:BD:CD=(a+c-b):(a+b-c)=cot(B/2):cot(C/2)進而,得到一個三角恒等式:(sinA+sinC-sinB):(sinA+sinB-sinC)=cot(B/2):cot(C/2)

4、設(shè)P是BC的中點,D關(guān)于P的對稱點是D1,那么:AB+BD1=AC+CD1也就是說,AD1平分△ABC的周長。

5、設(shè)Q是BA中點,R是AB中點;

用上面的方法,同樣可以構(gòu)造出△ABC的周長平分線BE1和CF1。

6、三角形的三條周長平分線共點,這個點稱為△ABC的界心,標記為J。

7、設(shè)G為△ABC的重心,那么,I、G、J三點共線,且JG=2*IG。

8、由此可知,△ABC和△PQR關(guān)于G透視對應(yīng),對應(yīng)關(guān)系是:A、B、C對應(yīng)P、Q、R,I對應(yīng)J,直線AJ對應(yīng)直線PI。所以,直線PI是△PQR的周長平分線。

9、設(shè)PI與QR交于T,那么:A、T、D共線。

10、S(BCI):S(CAI):S(ABI)=a:b:c=sinA:sinB:sinC這樣可以求出I相對于△ABC的重心坐標是(sinA:sinB:sinC)。

11、直角三角形的內(nèi)心:△BAC中,AK⊥BC于K,I、M、N分別是△ABC、ABK、ACK的內(nèi)心,ID⊥BC于D,AK交PQ于T。

求證:四邊形DNTM是正方形。

12、設(shè)△ABC的三邊長分別是a、b、c,那么,容易算出:BM:MQ=PN:NC=PT:TQ=(a*c+c^2):(a*b+b^2)

BD:DC=(a+c-b):(a+b-c)

要證明DNTM是正方形,可以先間接證明:

DN//MT//BP

DM//NT//CQ

這就需要證明(a+c-b):(a+b-c)=(a*c+c^2):(a*b+b^2)

因為a^2=b^2+c^2,所以容易證明上式成立。

再證明DM=DN。

因為DM=BD*CQ/BC,DN=CD*BP/BC,

所以,轉(zhuǎn)而證明:BD:BP=CD:CQ

而這一點是比較容易的了。

本文標簽: 三角形  內(nèi)切圓  內(nèi)心  圓心  認識  

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